En el mundo de las matemáticas, los productos y cocientes notables son términos que se utilizan para referirse a expresiones algebraicas comunes y conocidas que se utilizan con frecuencia en la resolución de problemas matemáticos. Los productos y cocientes notables son expresiones que se utilizan con frecuencia y que se pueden simplificar de manera rápida y eficaz sin tener que utilizar técnicas avanzadas de álgebra. En este artículo, exploraremos los productos y cocientes notables más comunes, así como algunos ejemplos de cómo se utilizan en la resolución de problemas.
Ejemplos de productos notables:
- (x + y)² Usando la fórmula del binomio al cuadrado, podemos simplificar esta expresión de la siguiente manera: (x + y)² = x² + 2xy + y²
- (2a – 3b)² Usando la fórmula del binomio al cuadrado, podemos simplificar esta expresión de la siguiente manera: (2a – 3b)² = (2a)² – 2(2a)(3b) + (3b)² = 4a² – 12ab + 9b²
- (a + b)(a – b) Usando la fórmula de la diferencia de cuadrados, podemos simplificar esta expresión de la siguiente manera: (a + b)(a – b) = a² – b²
- (x + 4)(x – 4) Usando la fórmula de la diferencia de cuadrados, podemos simplificar esta expresión de la siguiente manera: (x + 4)(x – 4) = x² – 16
- (3x + 5)(3x – 5) Usando la fórmula de la diferencia de cuadrados, podemos simplificar esta expresión de la siguiente manera: (3x + 5)(3x – 5) = 9x² – 25
Ejemplos de cocientes notables:
- (a² + 4ab + 4b²) / (a + 2b) usando la fórmula del cociente notable, podemos simplificar esta expresión de la siguiente manera: (a² + 4ab + 4b²) / (a + 2b) = (a + 2b)² / (a + 2b) = a + 2b
- (x² – 6x + 9) / (x – 3) Usando la fórmula del cociente notable, podemos simplificar esta expresión de la siguiente manera: (x² – 6x + 9) / (x – 3) = (x – 3)² / (x – 3) = x – 3
- (4a² – 16a + 12) / (2a – 3) Usando la fórmula del cociente notable, podemos simplificar esta expresión de la siguiente manera: (4a² – 16a + 12) / (2a – 3) = 2(a² – 8a + 6 ) / (2a – 3) = 2(a – 2)(a – 3) / (2a – 3) = 2(a – 2)
- (9x² – 6xy + y²) / (3x – y) Usando la fórmula del cociente notable, podemos simplificar esta expresión de la siguiente manera: (9x² – 6xy + y²) / (3x – y) = (3x – y)² / (3x – y) = 3x – y.
A continuación, se presentan algunos ejemplos de cómo se pueden aplicar los productos y cocientes notables en la resolución de problemas matemáticos:
Ejemplo 1: Simplificación de expresiones con el binomio al cuadrado
Simplificar la expresión (2x + 3)².
solución:
Usando la fórmula del binomio al cuadrado, tenemos:
(2x + 3)² = (2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9
Por lo tanto, la expresión simplificada es 4x² + 12x + 9.
Ejemplo 2: Aplicación de la diferencia de cuadrados
Factorizar la expresión 9x² – 16y².
solución:
Usando la fórmula de la diferencia de cuadrados, tenemos:
9x² – 16y² = (3x)² – (4y)² = (3x + 4y)(3x – 4y)
Por lo tanto, la expresión factorizada es (3x + 4y)(3x – 4y).
Ejemplo 3: Multiplicación de dos binomios con signo +
Multiplicar las expresiones (3x + 5)(2x + 4).
solución:
Usando la fórmula de la multiplicación de dos binomios con signo +, tenemos:
(3x + 5)(2x + 4) = 3x(2x) + 3x(4) + 5(2x) + 5(4) = 6x² + 22x + 20
Por lo tanto, la expresión simplificada es 6x² + 22x + 20.
Ejemplo 4: Multiplicación de dos binomios con signo –
Multiplicar las expresiones (2x – 3)(4x – 5).
solución:
Usando la fórmula de la multiplicación de dos binomios con signo -, tenemos:
(2x – 3)(4x – 5) = 2x(4x) – 2x(5) – 3(4x) + 3(5) = 8x² – 22x + 15
Por lo tanto, la expresión simplificada es 8x² – 22x + 15.
Ejemplo 5: Aplicación de cocientes notables
Simplificar la expresión (a² – b²)/(a – b).
solución:
Usando la fórmula del cociente de cuadrados, tenemos:
(a² – b²)/(a – b) = (a + b)(a – b)/(a – b) = a + b
Por lo tanto, la expresión simplificada es a + b.
Ejemplo 6: Cociente de dos binomios con signo +
Simplifique la expresión (2x² + 5x + 3) / (x + 3).
solución:
Usando la división sintética, tenemos:
2x + 1
-------------
x + 3 | 2x² + 5x + 3
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