Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos o más ecuaciones en las que se desconocen dos valores, denotados como «x» e «y». Estas ecuaciones pueden tener la siguiente forma:
a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2
Donde «a1», «b1», «c1», «a2», «b2» y «c2» son constantes conocidas. El objetivo del sistema es encontrar los valores de «x» e «y» que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente.
Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, entre ellos se encuentran
Método de sustitución
El método de sustitución implica resolver una de las ecuaciones para una de las incógnitas y luego sustituir la expresión resultante en la otra ecuación. A continuación, se resuelve la ecuación resultante para la otra incógnita. Por ejemplo, si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y = 7Podemos resolver la primera ecuación para y, lo que nos da y = 7 – x. Luego, sustituimos esta expresión en la segunda ecuación para obtener:
2x - y = 1
2x - (7 - x) = 1Resolvemos para x:
2x - 7 + x = 1Para obtener y, podemos sustituir x = 8/3 en cualquiera de las dos ecuaciones originales, por ejemplo, en la primera ecuación:
3x = 8
x = 8/3
8/3 + y = 7Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es x = 8/3 e y = 13/3.
y = 7 - 8/3
y = 13/3
Método de eliminación
El método de eliminación implica sumar o restar las dos ecuaciones para eliminar una de las incógnitas y luego resolver para la otra incógnita. Por ejemplo, si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
3x + 4y = 10
2x - 5y = -7
Podemos multiplicar la segunda ecuación por 2 para obtener:
3x + 4y = 10Luego, sumamos las dos ecuaciones para eliminar y:
4x - 10y = -14
7x - 6y = -4Resolvemos para x:
7x = 6y - 4Para obtener y, podemos sustituir x = (6y – 4)/7 en cualquiera de las dos ecuaciones originales, por ejemplo, en la primera ecuación:
x = (6y - 4)/7
3(6y-4)/7 + 4y = 10Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es x = (6y – 4)/7 = (6(41/23) – 4)/7 = 38/23 e y = 41/23.
18y - 12 + 28y = 70
46y = 82
y = 41/23
Método de igualación
El método de igualación implica despejar una de las incógnitas en ambas ecuaciones y luego igualar las expresiones obtenidas. A continuación, se resuelve la ecuación resultante para la otra incógnita. Por ejemplo, si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
2x + 3y = 11Podemos despejar x en la primera ecuación y y en la segunda ecuación para obtener:
5x - 4y = 2
x = (11 - 3y)/2
Una vez que se han encontrado los valores de «x» e «y» que satisfacen todas las ecuaciones, se puede comprobar la solución sustituyendo los valores en todas las ecuaciones del sistema. Si todas las ecuaciones se satisfacen, entonces se ha encontrado la solución correcta del sistema de ecuaciones.
Aplicaciones de Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Economía y finanzas: El análisis económico y financiero a menudo involucra la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas para determinar las relaciones entre los ingresos, costos y beneficios de una empresa, la oferta y la demanda de un producto o servicio, y los flujos de efectivo y los rendimientos de inversión.
Ingeniería: La ingeniería es otro campo en el que se utilizan con frecuencia sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas para resolver problemas relacionados con la física, la mecánica y la electrónica, como por ejemplo la determinación de las fuerzas y las tensiones en una estructura, el diseño de circuitos eléctricos y la optimización de procesos industriales.
Ciencias sociales: En ciencias sociales, los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas se utilizan para modelar y analizar las interacciones entre variables socioeconómicas, como la educación, la salud, la pobreza y el crimen, y para determinar cómo afectan estas variables entre sí.
Geometría: En geometría, los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas se utilizan para encontrar las coordenadas de puntos de intersección de rectas en el plano cartesiano.
Ciencias naturales: En ciencias naturales, los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas se utilizan para modelar y analizar las relaciones entre variables como la temperatura, la presión, el volumen y la concentración de sustancias químicas en reacciones químicas y procesos físicos.
En resumen, los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas son una herramienta matemática esencial en una amplia variedad de campos y disciplinas, ya que permiten resolver problemas que involucran la interacción de dos variables relacionadas de forma lineal.
Ejemplos
Ejemplo de economía
Una tienda de ropa vende dos tipos de camisas, A y B, y quiere determinar cuántas de cada tipo vender para obtener un ingreso de $500.
La camisa A se vende a $25 y la camisa B a $20. El número de camisas vendidas debe ser mayor o igual a cero y menor o igual a 20 para cada tipo.
Entonces, el sistema de ecuaciones lineales que modela este problema es:x + y ≤ 20 (restricción de la cantidad máxima de camisas vendidas) 25x + 20y = 500 (función de ingreso)
Donde x es el número de camisas A vendidas y y es el número de camisas B vendidas.
La solución de este sistema es x = 12 y y = 8, lo que significa que la tienda debe vender 12 camisas A y 8 camisas B para obtener un ingreso de $500.
Ejemplo de geometría
Se tienen dos rectas en el plano cartesiano, una con ecuación y = 2x + 1 y otra con ecuación y = -3x + 4. Se desea encontrar las coordenadas del punto de intersección de ambas rectas.
Para ello, se debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: y = 2x + 1 y = -3x + 4
Al igualar ambas expresiones de y, se obtiene:2x + 1 = -3x + 4Despejando x, se tiene:5x = 3x = 3/5
Sustituyendo x en cualquiera de las dos ecuaciones, se obtiene: y = 2(3/5) + 1y = 13/5Por lo tanto, el punto de intersección es (3/5, 13/5).
Ejemplo de ciencias naturales
Se quiere determinar la concentración de una solución después de mezclar dos soluciones de diferentes concentraciones. La primera solución tiene una concentración de 10% y la segunda solución tiene una concentración de 20%. Se desean mezclar 200 ml de la primera solución con 300 ml de la segunda solución para obtener una solución con una concentración del 15%.
La concentración de la mezcla se puede modelar mediante el siguiente sistema de ecuaciones lineales:0.10x + 0.20y = 0.15(200+300) x + y = 200+300Donde x es la cantidad de la primera solución y y es la cantidad de la segunda solución.
La solución de este sistema es x = 100 y y = 400, lo que significa que se deben mezclar 100 ml de la primera solución y 400 ml de la segunda solución para obtener la solución deseada con una concentración del 15%.
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