La factorización es uno de los conceptos más fundamentales en matemáticas. En términos simples, la factorización es el proceso de descomponer un número, expresión algebraica o polinómica en sus factores primos. En este artículo, discutiremos los conceptos básicos de factorización, así como las técnicas y herramientas que se utilizan para factorizar diferentes tipos de expresiones matemáticas.
Introducción a la factorización
La factorización es una técnica que se utiliza en matemáticas para descomponer una expresión en sus factores primos. Por ejemplo, la factorización de 12 es 2 x 2 x 3. Este proceso es importante en muchas áreas de las matemáticas, incluyendo álgebra, aritmética, geometría y teoría de números. En la factorización, se busca encontrar los factores que multiplicados juntos dan como resultado la expresión original.
Factores primos y factorización
En matemáticas, los números primos son aquellos que sólo son divisibles por 1 y por sí mismos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23. El teorema fundamental de la aritmética establece que cualquier número entero positivo se puede expresar de manera única como un producto de números primos.
Por ejemplo, el número 12 se puede expresar como 2 x 2 x 3, donde 2 y 3 son números primos. Esta expresión se conoce como la factorización prima de 12. La factorización prima es importante porque muestra los factores primos que componen un número, lo que a su vez puede ayudar a simplificar problemas matemáticos más complejos.
Factorización de números enteros
La factorización de números enteros se refiere al proceso de descomponer un número en sus factores primos. Para hacer esto, se dividen sucesivamente los números por los números primos más pequeños hasta que ya no se pueda seguir dividiendo.
Por ejemplo, para factorizar el número 84, se puede comenzar dividiendo por 2: 84 ÷ 2 = 42. Luego, 42 se puede dividir por 2 nuevamente: 42 ÷ 2 = 21. A continuación, 21 se puede dividir por 3: 21 ÷ 3 = 7. Por lo tanto, la factorización prima de 84 es 2 x 2 x 3 x 7.
Descomposición en factores primos
La avería en factores primos es el proceso de descomposición de un número entero en factores que sean números primos. Esto se puede hacer mediante el uso de la división sucesiva. Por ejemplo, para descomponer el número 60 en factores primos, se puede comenzar dividiéndolo por el número primo más pequeño, que es 2:
60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5
El resultado es que 60 se puede descomponer en factores primos como 2 × 2 × 3 × 5. Esta causa en factores primos es única, lo que significa que cualquier número entero se puede descomponer en factores primos de una sola manera.
La debilitación en factores primos es útil para determinar si un número es primo o compuesto. Si un número tiene más de dos factores primos, entonces es compuesto. Si tiene exactamente dos factores primos, entonces es primo. Por ejemplo, el número 17 es primo porque solo tiene dos factores primos: 17 y 1.
Factorización de expresiones algebraicas
La factorización de expresiones algebraicas es el proceso de descomponer una expresión algebraica en factores más simples. Por ejemplo, la expresión algebraica x^2 – 4 se puede factorizar como (x + 2)(x – 2). La factorización de expresiones algebraicas es importante porque puede ayudar a simplificar una expresión y facilitar su resolución. También es útil para encontrar las soluciones de una ecuación algebraica.
Existen varias técnicas de factorización que se pueden utilizar para factorizar expresiones algebraicas. Estas técnicas incluyen la factorización por agrupación, la factorización por factor común, la factorización por el método de completar el cuadrado y la factorización por el método de la fórmula general. A continuación, se describe frecuentemente estas técnicas de factorización.
factorización por agrupación
La factorización por agrupación es una técnica de factorización que se utiliza para factorizar expresiones algebraicas que tienen cuatro términos. Esta técnica implica agrupar los términos de la expresión en pares y factorizar cada par. Por ejemplo, la expresión algebraica x^2 + 3x – 4 puede factorizarse por agrupación como (x + 4)(x – 1).
Factorización por factor común
La factorización por factor común es una técnica de factorización que se utiliza para factorizar expresiones algebraicas que tienen términos comunes. Esta técnica implica buscar el factor común entre los términos de la expresión y dividir cada término por ese factor común.
Ejemplos
Ejemplo 1: Factorización de expresiones polinómicas
Factorizar la expresión 3×3 – 9×2 – 12x.
Solución:
Primero, se debe buscar el factor común de la expresión. En este caso, se puede factorizar 3x, quedando:
3x(x2 – 3x – 4)
Ahora, se debe factorizar el trinomio dentro de los paréntesis utilizando el método de factorización por descomposición. Se busca dos números que multiplicados den -4 y sumados den -3. Esos números son -4 y 1, por lo que la factorización completa es:
3x(x – 4)(x + 1)
Por lo tanto, la expresión 3×3 – 9×2 – 12x se factoriza como 3x(x – 4)(x + 1).
Ejemplo 2: Factorización de expresiones cuadráticas
Factorizar la expresión x2 + 6x + 8.
Solución:
Primero, se debe verificar si la expresión se puede factorizar utilizando otros métodos. Como la expresión no tiene raíces enteras, se utiliza el método de factorización por completación de cuadrados.
Se divide el coeficiente b (6) por 2 y se eleva al cuadrado el resultado, obteniendo 9. Se agrega y se resta 9 a la expresión original:
x2 + 6x + 8 + 9 – 9
Se agrupan los términos y se factoriza el trinomio resultante:
(x + 3)2 – 1
Por lo tanto, la expresión x2 + 6x + 8 se factoriza como (x + 3)2 – 1.
Ejemplo 3: Factorización de expresiones con exponentes fraccionarios
Factorizar la expresión x4/3 – 16.
Solución:
Se puede escribir la expresión como (x2/3)2 – 42 y aplicar el método de factorización por diferencia de cuadrados:
(x2/3 – 4)(x2/3 + 4)
Por lo tanto, la expresión x4/3 – 16 se factoriza como (x2/3 – 4)(x2/3 + 4).
Ejemplo 4: Factorización de expresiones con exponentes negativos
Factorizar la expresión 1/x + 1/y.
Solución:
Se busca el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es xy. Se multiplica cada término por el denominador del otro término, obteniendo:
y/x(xy) + x/y(xy)
Se suma los términos y se factoriza utilizando el factor común y/x:
y/x(xy) + x/y(xy) = (y2 + x2)/(xy)
Por lo tanto, la expresión 1/x + 1/y se factoriza como (y2 + x2)/(xy).
Ejemplo 5: Factorización por factor común
Factorizar la expresión 6x + 12.
Solución: Primero, se busca el factor común entre ambos términos, que es 6. Luego, se factoriza la expresión dividiendo cada término por el factor común: 6x + 12 = 6(x + 2)
Por lo tanto, la expresión 6x + 12 factorizada es 6(x + 2).
Ejemplo 6: Factorización por agrupación
Factorizar la expresión 2×2 + 5x + 2.
Solución: Para factorizar esta expresión por agrupación, se deben buscar dos números que multiplicados den como resultado el término cuadrático (2×2) y que sumados den como resultado el término lineal (5x). En este caso, los números son 2 y 1. Luego, se reescribe la expresión separando los términos de la siguiente manera: 2×2 + 2x + 3x + 2
A continuación, se agrupan los términos de la siguiente manera: (2×2 + 2x) + (3x + 2)
Se factoriza cada paréntesis por separado, usando factor común: 2x(x + 1) + 1(3x + 2)
Por lo tanto, la expresión 2×2 + 5x + 2 factorizada por agrupación es (2x + 1)(x + 2).
Ejemplo 7: Factorización por diferencia de cuadrados
Factorizar la expresión x2 – 9.
Solución: Esta expresión se puede factorizar utilizando el método de diferencia de cuadrados, ya que se puede escribir como (x)2 – (3)2. Por lo tanto, la expresión se puede factorizar de la siguiente manera: x2 – 9 = (x – 3)(x + 3)
Por lo tanto, la expresión x2 – 9 factorizada por diferencia de cuadrados es (x – 3)(x + 3).
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