Los números irracionales son aquellos números que no pueden expresarse como una fracción de dos números enteros. En otras palabras, son números que tienen una expansión decimal infinita y no periódica. Algunos ejemplos de números irracionales son la raíz cuadrada de 2, pi y e. En este artículo, exploraremos las propiedades y características de los números irracionales.
Infinitud decimal
Una de las características más importantes de los números irracionales es que tienen una expansión decimal infinita y no periódica. Esto significa que no se puede escribir el número como una fracción exacta, lo que a su vez significa que el número no se puede expresar como una fracción simple de dos números enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 tiene una expansión decimal infinita que comienza con 1,41421356… y continúa infinitamente sin repetirse.
No se pueden expresar como fracciones
Otra propiedad de los números irracionales es que no se pueden expresar como fracciones simples. Esto se debe a que cualquier fracción de dos números enteros tiene una expansión decimal finita o periódica. Por ejemplo, 1/3 tiene una expansión decimal periódica de 0.3333333…, mientras que 2/3 tiene una expansión decimal periódica de 0.6666666…. Sin embargo, la raíz cuadrada de 2 no tiene una expansión decimal periódica o finita, lo que significa que no se puede expresar como una fracción simple.
Conjunto denso
El conjunto de números irracionales es denso en el conjunto de números reales. Esto significa que, entre cualquier par de números reales distintos, siempre hay al menos un número irracional. Por ejemplo, entre los números 1 y 2, podemos encontrar un número irracional como la raíz cuadrada de 2.
Trascendencia
Algunos números irracionales son trascendentes, lo que significa que no son solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros. Los números trascendentes incluyen pi, e y la constante de Euler-Mascheroni. Estos números tienen una expansión decimal infinita y no periódica, y no se pueden expresar como la solución de una ecuación polinómica con coeficientes enteros.
Propiedades algebraicas
Los números irracionales tienen algunas propiedades algebraicas interesantes. Por ejemplo, si a y b son números irracionales distintos, entonces la suma y el producto de a y b son también irracionales. Sin embargo, la suma y el producto de dos números irracionales no necesariamente son irracionales. Por ejemplo, la suma de la raíz cuadrada de 2 y la raíz cuadrada de 3 es irracional, pero la suma de la raíz cuadrada de 2 y la raíz cuadrada de 2 es un número racional (2).
Propiedades geométricas
Los números irracionales también tienen algunas propiedades interesantes en geometría. Por ejemplo, la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es la raíz cuadrada de 2, que es un número irracional. Esto significa que no se puede medir exactamente la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 utilizando una regla graduada, ya que la longitud es irracional.
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