Los polinomios son una parte fundamental de las matemáticas, especialmente en álgebra. Un polinomio es una expresión matemática que contiene una o más variables y coeficientes, y que se puede escribir en términos de potencias crecientes de las variables. Por ejemplo, el polinomio x² + 2x + 1 es un polinomio de segundo grado con coeficientes 1, 2 y 1.
Pueden tener una o varias variables, y los coeficientes pueden ser números reales, complejos o incluso polinomios. Los polinomios se utilizan en una gran cantidad de áreas de las matemáticas, desde la geometría algebraica hasta la estadística.
Antes de profundizar en los conceptos de polinomios, es importante entender qué son los polinomios. Un polinomio es una expresión matemática que consta de una o más variables y coeficientes, y que se puede escribir como la suma de términos en los que la variable está elevada a potencias crecientes. Por ejemplo, el polinomio x² + 2x + 1 es un polinomio de segundo grado con coeficientes 1, 2 y 1.
A continuación, se presentan algunos conceptos importantes relacionados con los polinomios:
1-Grado: El grado del polinomio es el exponente más alto de la variable en el polinomio. Por ejemplo, el polinomio x² + 2x + 1 es un polinomio de segundo grado, ya que el exponente más alto de la variable es 2.
2- Términos: Un polinomio se compone de términos, cada uno de los cuales es el producto de un coeficiente y una o más variables elevadas a una potencia. Por ejemplo, el polinomio x² + 2x + 1 tiene tres términos: x², 2x y 1.
3- Término líder: El término líder de un polinomio es el término con el coeficiente más alto y con la variable elevada a la potencia más alta. Por ejemplo, el término líder del polinomio x³ + 2x² + 3x + 4 es x³.
4- Homogéneos: Un polinomio se dice que es homogéneo si todos sus términos tienen el mismo grado. Por ejemplo, el polinomio x² + 2xy + y² es homogéneo de grado 2.
5- Lineales: Un polinomio se dice que es lineal si su grado es 1. Por ejemplo, el polinomio 2x + 3 es lineal.
6-Cuadráticos: Un polinomio se dice que es cuadrático si su grado es 2. Por ejemplo, el polinomio x² + 2.
Clasificación
Los polinomios pueden clasificarse de diversas formas, algunas de las cuales se mencionan a continuación:
Por su grado
Los polinomios se pueden clasificar según el grado de la variable más alta en la expresión. Por ejemplo, un polinomio de grado 1 es un polinomio lineal, mientras que un polinomio de grado 2 es un polinomio cuadrático.
Por su número de términos
Los polinomios se pueden clasificar según el número de términos en la expresión. Un polinomio con un solo término se llama monomio, mientras que un polinomio con dos términos se llama binomio y un polinomio con tres términos se llama trinomio.
Por su número de variables
Los polinomios se pueden clasificar según el número de variables que aparecen en la expresión. Un polinomio con una sola variable se llama polinomio univariable o simplemente polinomio, mientras que un polinomio con dos o más variables se llama polinomio multivariable.
Por su coeficiente principal
Los polinomios se pueden clasificar según el coeficiente principal, que es el coeficiente del término de mayor grado. Por ejemplo, un polinomio con coeficiente principal positivo se llama polinomio creciente, mientras que un polinomio con coeficiente principal negativo se llama polinomio decreciente.
Por su simetría
Los polinomios se pueden clasificar según su simetría. Un polinomio es simétrico si sus términos se pueden reordenar para que la expresión no cambie. Por ejemplo, el polinomio x³ – 3x² + 3x – 1 es simétrico.
Por su forma
Los polinomios se pueden clasificar según su forma. Por ejemplo, un polinomio de la forma ax² + bx + c se llama polinomio cuadrático estándar, mientras que un polinomio de la forma a(x – h)² + k se llama polinomio cuadrático en forma canónica.
Tipos de polinomios
Polinomios constantes: Son aquellos polinomios que no tienen variables, es decir, que son simplemente una constante. Por ejemplo, el polinomio f(x) = 3 es un polinomio constante.
Polinomios lineales: Son polinomios de grado 1 que se pueden escribir en la forma ax + b, donde a y b son constantes y x es la variable. Por ejemplo, el polinomio f(x) = 2x – 1 es un polinomio lineal.
Polinomios cuadráticos: Son polinomios de grado 2 que se pueden escribir en la forma ax² + bx + c, donde a, b y c son constantes y x es la variable. Por ejemplo, el polinomio f(x) = x² – 4x + 3 es un polinomio cuadrático.
Polinomios cúbicos: Son polinomios de grado 3 que se pueden escribir en la forma ax³ + bx² + cx + d, donde a, b, c y d son constantes y x es la variable. Por ejemplo, el polinomio f(x) = x³ – 2x² + x – 3 es un polinomio cúbico.
Polinomios de grado superior: Son polinomios de grado mayor que 3. Por ejemplo, el polinomio f(x) = x^4 – 3x³ + 2x² – 5x + 1 es un polinomio de grado 4.
Homogéneos: Son polinomios en los que todos los términos tienen el mismo grado. Por ejemplo, el polinomio f(x,y) = x² + 2xy + y² es un polinomio homogéneo de grado 2.
Ortogonales: Son polinomios que tienen propiedades de ortogonalidad en algún intervalo específico. Algunos ejemplos de polinomios ortogonales son los polinomios de Legendre, los polinomios de Chebyshev y los polinomios de Hermite.
Bernstein: Son polinomios que se utilizan en el campo de la teoría de la aproximación y la interpolación. Los polinomios de Bernstein se definen en términos de una función de base y son útiles para aproximar funciones continuas en un intervalo cerrado.
Operatorias de polinomios
Las operaciones más comunes que se realizan con polinomios son la suma, la resta, la multiplicación y la división. A continuación, se describen estas operaciones:
Suma y resta
Para sumar o restar dos polinomios, se suman o restan los coeficientes de los términos semejantes. Un término se considera semejante a otro si tiene la misma potencia de la variable. Por ejemplo, para sumar los polinomios f(x) = 2x² – 3x + 1 y g(x) = x² + 2x – 5, se suman los coeficientes de los términos semejantes:
f(x) + g(x) = (2x² – 3x + 1) + (x² + 2x – 5) = 3x² – x – 4
Para restar, se realiza el mismo proceso, pero con los coeficientes con signo opuesto:
f(x) – g(x) = (2x² – 3x + 1) – (x² + 2x – 5) = x² – 5x + 6
Multiplicación
Para multiplicar dos polinomios, se utiliza la propiedad distributiva. Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio, y luego se suman los términos semejantes. Por ejemplo, para multiplicar los polinomios f(x) = 2x – 1 y g(x) = x + 3, se realiza el siguiente cálculo:
f(x) * g(x) = (2x – 1) * (x + 3) = 2x² + 5x – 3
División
La división de polinomios es una operación un poco más compleja que la suma, la resta y la multiplicación. Para dividir un polinomio P(x) entre otro polinomio Q(x), se sigue el siguiente proceso:
Se divide el término de mayor grado de P(x) entre el término de mayor grado de Q(x). El resultado se coloca en el cociente.
Se multiplica el divisor Q(x) por el término del cociente obtenido en el paso anterior, y se resta el resultado de P(x).
Se repite el proceso con el resultado obtenido en el paso anterior, dividiendo el término de mayor grado entre el término de mayor grado de Q(x) y repitiendo el proceso hasta que no queden términos de grado mayor en el resto.
El resultado final es el cociente obtenido en la división más el resto.
Por ejemplo, para dividir el polinomio f(x) = x³ – 4x² + 5x – 2 entre el polinomio g(x) = x – 2, se sigue el siguiente proceso:
x² - 2x + 1
x - 2 | x³ - 4x² + 5x - 2
- x³ + 2x²
-------
-2x² + 5x
2x² - 4x
--------
x - 2Por lo tanto, el resultado de la división es el polinomio cociente (x² – 2x + 1).
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