Teorema de Pitágoras; es uno de los más utilizados en la geometría euclídea para calcular los lados de un triángulo rectángulo y de figuras más complejas separándolas en triángulos rectángulos para calcularlos más fácil.
También es una fórmula, denominada así en honor al matemático griego Pitágoras, que establece una relación entre los lados de un triángulo rectángulo. Es decir, conocidos dos de ellos podemos calcular el otro con está fórmula.
El Teorema de Pitágoras establece que:
El cuadrado de la hipotenusa h de cualquier triángulo rectángulo, es igual a la suma del primer cateto 1 al cuadrado más el segundo cateto 2 al cuadrado.
También si en un triángulo rectángulo no tenemos uno de los catetos, pero si la hipotenusa podemos calcularlo utilizando la misma fórmula, solo cambia el signo que será menos.
Fórmula
La fórmula del teorema de Pitágoras permite determinar un lado desconocido teniendo en cuenta los lados conocidos:
Para calcular el c1, se utiliza la fórmula: C12=h2-c22 que es el cateto uno es igual a la raíz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado, menos el cateto dos al cuadrado.
Para calcular el c2, se utiliza la misma fórmula: C22=h2-c12 y como sabemos es con la raíz cuadrada.
Para encontrar la hipotenusa: h2=c12+c22
Ejercicio 1: cálculo de la hipotenusa de un triángulo rectángulo
Comenzamos por identificar los lados del triángulo. El primer cateto será 4, el segundo 5 y la hipotenusa h, la cual es desconocida. Sustituimos los valores en la fórmula para sacar la hipotenusa
h2=c12+c22
Sustituyendo.
h2=412+522
Calculamos los cuadrados de 4 y 5.
h2=16+25
Ahora, aplicamos raíz cuadrada en ambos miembros para despejar la hipotenusa.
h2=41
h= 6.40
- Como sabes, al despejar una raíz cuadrada el resultado puede ser positivo o negativo. Siempre se toma el resultado positivo porque los lados y las longitudes son siempre positivas
- Los catetos �1C1 y �2C2 no tienen una distinción particular en la ecuación. Cualquier lado que no sea la hipotenusa puede llamarse �1C1 e inmediatamente el otro será el cateto �2C2
- En problemas de decidir el camino más corto donde entran en juego triángulos rectángulos, la distancia de la hipotenusa es menor la suma de las longitudes de los catetos ℎ<�1+�2h<c1+c2, por tanto, el camino más corto es la hipotenusa
El Triángulo Rectángulo
Con todo lo comentado hasta ahora, vale la pena hacer un pequeño inciso para recordar que es un triángulo rectángulo y definir cada una de sus partes.
Un triángulo es rectángulo si dos de sus tres lados forma un ángulo recto o de 90°.
Los lados que forman el ángulo de 90° se denominan catetos, mientras que el lado en diagonal que une los extremos distantes de los catetos se llama hipotenusa. Como se ha mencionado a lo largo del post, el triángulo rectángulo cumple con el Teorema de Pitágoras y son el mismo tipo de triángulo que hemos estado estudiando.
- Cateto: lado que, junto a otro, forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo
- Hipotenusa: es el lado más largo en un triángulo rectángulo. La hipotenusa también puede identificarse como el lado opuesto al ángulo recto del triángulo rectángulo
Propiedades de los triángulos rectángulos
A continuación, enumeramos las propiedades más resaltantes de los triángulos rectángulos, empleadas con frecuencia al resolver problemas de geometría.
- Posee dos ángulos agudos los cuales suman 90°
- Cuando los catetos tienen la misma longitud, el triángulo se denomina isorectángulo o triangulo rectángulo isósceles
- Para calcular el área, es indistinto seleccionar uno como base y otro como altura
Aplicaciones del Teorema de Pitágoras
Siempre que en un problema se presente un triángulo rectángulo o la necesidad de medir la distancia euclídea más corta entre dos puntos, el Teorema de Pitágoras estará allí para ayudarnos. Algunas de las aplicaciones más comunes son:
- Calcular alguno de los lados de un triángulo rectángulo.
- Determinar si un triángulo es o no rectángulo. Para ello debe cumplirse que:
ℎ2=21+22h2=c21+c22
- Para calcular el módulo de un vector en dos y tres dimensiones.
‖v‖=2+2 ∈2‖V‖=v2x+v2y con V∈R2
‖v‖=2+2+2∈3‖V‖=v2x+v2y+v2z con V∈R3
- Para medir la distancia entre dos puntos en el plano o el espacio tridimensional.
=(2−1)2+(2−1)2d(x,y)=(x2−x1)2+(y2−y1)2)=(2−1)2+(2−1)2+(2−1)2d(x,y,z)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2
- Los triángulos rectángulos son la base para la descripción de las identidades trigonométricas en la circunferencia unitaria. Se llama unitaria porque tiene radio igual a 1.
Si tomamos en cuenta el ángulo θ , nos queda la siguiente descomposición en base al teorema de Pitágoras:
1=sin2+cos2 1=sin2θ+cos2θ
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