El teorema fundamental del triángulo, también conocido como la ley de los cosenos, es un teorema fundamental en la geometría euclidiana del triángulo que establece una relación entre los lados y ángulos de un triángulo. Este teorema se utiliza para calcular la longitud de un lado desconocido, el valor de un ángulo desconocido o incluso la existencia de un triángulo dado un conjunto de condiciones.
La historia detrás del teorema fundamental del triángulo se remonta a la antigua Grecia. Los matemáticos griegos, como Euclides y Pitágoras, ya estaban estudiando la geometría del triángulo, pero fue el matemático indio Bhaskara II quien presentó la primera formulación completa del teorema en el siglo XII.
Lo que establece el teorema del triángulo
El teorema establece que, en cualquier triángulo, el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble producto de las longitudes de esos lados por el coseno del ángulo que forman. Esto se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera:
a^2 = b^2 + c^2 – 2bc cos(A) b^2 = a^2 + c^2 – 2ac cos(B) c^2 = a^2 + b^2 – 2ab*cos( C) donde “a”, “b” y “c” son las longitudes de los lados del triángulo, y “A”, “B” y “C” son los ángulos opuestos a los lados correspondientes.
Se utiliza
El teorema de los cosenos se utiliza parcialmente en la resolución de problemas de trigonometría, así como en la navegación marítima y aérea. Por ejemplo, si se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, se puede utilizar el teorema de los cosenos para calcular la longitud del tercer lado. También se puede utilizar para calcular el valor de un ángulo desconocido en un triángulo.
El teorema de los cosenos también puede ser utilizado en la resolución de problemas de trigonometría esférica. La trigonometría esférica es la rama de la geometría que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en una esfera. La esfera se divide en dos hemisferios, el hemisferio norte y el hemisferio sur, y cada hemisferio se divide en 90 grados. La línea del ecuador divide la esfera en dos hemisferios iguales.
El teorema de los cosenos también puede ser utilizado para determinar la existencia de un triángulo dado un conjunto de condiciones. Para que exista un triángulo, la suma de las longitudes de dos de sus lados debe ser mayor que la longitud del tercer lado. Si se cumplen estas condiciones, se puede utilizar el teorema de los cosenos para calcular la longitud del tercer lado y los ángulos del triángulo.
Ejemplos
Ejemplo 1: Dados los lados de un triángulo, a=5, b=7 yc=9, encuentra los ángulos del triángulo. Para encontrar los ángulos del triángulo, podemos utilizar el teorema de los cosenos. Primero, encontramos el ángulo opuesto al lado “a”:
cos(A) = (b^2 + c^2 – a^2) / (2bc) cos(A) = (7^2 + 9^2 – 5^2) / (2 7 9) cos( A ) = 0,6805556
Por lo tanto, el ángulo opuesto al lado “a” es:
A = cos^-1(0,6805556) A = 47,8 grados
Ahora podemos encontrar los otros dos ángulos usando la ley de los senos:
sen(B) / b = sen(A) / a sen(B) / 7 = sen(47,8) / 5 sen(B) = 0,65028 B = sen^-1(0,65028) B = 41,3 grados
sen(C) / c = sen(A) / a sen(C) / 9 = sen(47,8) / 5 sen(C) = 0,88793 C = sen^-1(0,88793) C = 63,4 grados
Por lo tanto, los ángulos del triángulo son A=47.8 grados, B=41.3 grados y C=63.4 grados.
Ejemplo 2: Dados los lados de un triángulo, a=10, b=15 yc=18, encuentra la longitud del ángulo opuesto al lado “a”.
Para encontrar la longitud del ángulo opuesto al lado “a”, podemos utilizar el teorema de los cosenos:
cos(A) = (b^2 + c^2 – a^2) / (2bc) cos(A) = (15^2 + 18^2 – 10^2) / (2 15 18) cos( A ) = 0.70625
Por lo tanto, la longitud del ángulo opuesto al lado “a” es:
A = cos^-1(0,70625) A = 45,3 grados
Ejemplo 3: Dados los lados de un triángulo, a=6, b=8 yc=12, determina si el triángulo existe.
Para determinar si existe el triángulo, debemos comprobar si se cumple la siguiente condición:
a + b > c 6 + 8 > 12
Como se cumple esta condición, podemos concluir que el triángulo existe. Ahora podemos utilizar el teorema de los cosenos para encontrar los ángulos del triángulo, o la ley de los senos para encontrar las longitudes de los otros lados.
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